Lutasin ang ∫ 4x[x^2+5]^3 wrt x

$$\int 4 x [ x ^ { 2 } + 5 ] ^ { 3 } d x$$

I-evaluate

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}+С$$

Mga Hakbang ng Solution

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} para palawakin ang \left(x^{2}+5\right)^{3}.

$$\int 4x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 3 para makuha ang 6.

$$\int 4x\left(x^{6}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Para mag-raise ng power ng numero gamit ang ibang power, i-multiply ang mga exponent. I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$\int 4x\left(x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x gamit ang x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125.

$$\int 4x^{7}+60x^{5}+300x^{3}+500x\mathrm{d}x$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int 4x^{7}\mathrm{d}x+\int 60x^{5}\mathrm{d}x+\int 300x^{3}\mathrm{d}x+\int 500x\mathrm{d}x$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$4\int x^{7}\mathrm{d}x+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{7}\mathrm{d}x ng \frac{x^{8}}{8}. I-multiply ang 4 times \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{2}+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{5}\mathrm{d}x ng \frac{x^{6}}{6}. I-multiply ang 60 times \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{3}\mathrm{d}x ng \frac{x^{4}}{4}. I-multiply ang 300 times \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+500\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x\mathrm{d}x ng \frac{x^{2}}{2}. I-multiply ang 500 times \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}$$

Kung ang F\left(x\right) ay isang antiderivative ng f\left(x\right), kung gayon ang hanay ng lahat ng antiderivatives ng f\left(x\right) ay ibinibigay ng F\left(x\right)+C. Kaya naman, idagdag ang constant ng integration C\in \mathrm{R} sa resulta.

$$250x^{2}+75x^{4}+10x^{6}+\frac{x^{8}}{2}+С$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$4x\left(x^{2}+5\right)^{3}$$