Lutasin ang ∫ x^5-x^4+x^3-x^2+x-1/x-1

$$\int \frac { x ^ { 5 } - x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x - 1 } { x - 1 }$$

I-evaluate

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+x+С$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang mga expression na hindi pa na-factor sa \frac{x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1}{x-1}.

$$\int \frac{\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x-1}\mathrm{d}x$$

I-cancel out ang x-1 sa parehong numerator at denominator.

$$\int \left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)\mathrm{d}x$$

Palawakin ang expression.

$$\int x^{4}+x^{2}+1\mathrm{d}x$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{4}\mathrm{d}x ng \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{2}\mathrm{d}x ng \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}x$$

Hanapin ang integral ng 1 gamit ang alituntunin ng talahanayan ng mga karaniwang integral \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}+x$$

Kung ang F\left(x\right) ay isang antiderivative ng f\left(x\right), kung gayon ang hanay ng lahat ng antiderivatives ng f\left(x\right) ay ibinibigay ng F\left(x\right)+C. Kaya naman, idagdag ang constant ng integration C\in \mathrm{R} sa resulta.

$$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+С$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$x^{4}+x^{2}+1$$