Lutasin ang 3/1+x-2x^2+x/x-1

$$\frac{ 3 }{ 1+x-2 { x }^{ 2 } } + \frac{ x }{ x-1 }$$

I-evaluate

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

Maiikling Hakbang sa Solution

I-factor out ang 1+x-2x^{2}.

$$\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1}$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) at x-1 ay \left(x-1\right)\left(2x+1\right). I-multiply ang \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} times \frac{-1}{-1}. I-multiply ang \frac{x}{x-1} times \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} at \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Gawin ang mga pag-multiply sa 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

I-factor ang mga expression na hindi pa na-factor sa \frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}.

$$\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

I-cancel out ang x-1 sa parehong numerator at denominator.

$$\frac{2x+3}{2x+1}$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$-\frac{4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Derivative Rule for Quotient

I-factor out ang 1+x-2x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x}{x-1})$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng \left(-x+1\right)\left(2x+1\right) at x-1 ay \left(x-1\right)\left(2x+1\right). I-multiply ang \frac{3}{\left(-x+1\right)\left(2x+1\right)} times \frac{-1}{-1}. I-multiply ang \frac{x}{x-1} times \frac{2x+1}{2x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{3\left(-1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} at \frac{x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Gawin ang mga pag-multiply sa 3\left(-1\right)+x\left(2x+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

I-factor ang mga expression na hindi pa na-factor sa \frac{-3+2x^{2}+x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\left(x-1\right)\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

I-cancel out ang x-1 sa parehong numerator at denominator.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+3}{2x+1})$$

Para sa anumang dalawang madi-differentiate na function, ang derivative ng quotient ng dalawang function ay ang denominator times ang derivative ng numerator minus ang numerator times ang derivative ng denominator, lahat ng ito ay dini-divide ng denominator squared.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+3)-\left(2x^{1}+3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+1)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Ang derivative ng isang polynomial ay ang kabuuan ng mga derivative ng mga term nito. Ang derivative ng anumang constant term ay 0. Ang derivative ng ax^{n} ay nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{1-1}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{1-1}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\frac{\left(2x^{1}+1\right)\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+3\right)\times 2x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Palawakin gamit ang distributive property.

$$\frac{2x^{1}\times 2x^{0}+2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{0}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Para i-multiply ang mga power ng parehong base, idagdag ang mga exponent nito.

$$\frac{2\times 2x^{1}+2x^{0}-\left(2\times 2x^{1}+3\times 2x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-\left(4x^{1}+6x^{0}\right)}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Tanggalin ang mga hindi kinakailangang parenthesis.

$$\frac{4x^{1}+2x^{0}-4x^{1}-6x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{1}+\left(2-6\right)x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

I-subtract ang 4 sa 4 at ang 6 sa 2.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x^{1}+1\right)^{2}}$$

Para sa anumang term na t, t^{1}=t.

$$\frac{-4x^{0}}{\left(2x+1\right)^{2}}$$

Para sa anumang term na t maliban sa 0, t^{0}=1.

$$\frac{-4}{\left(2x+1\right)^{2}}$$