Lutasin ang frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

I-solve ang b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Mga Hakbang sa Pagso-solve ng Mga Radical Equation

I-rationalize ang denominator ng \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Isaalang-alang ang \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

I-square ang 2. I-square ang \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

I-subtract ang 5 mula sa 4 para makuha ang -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

I-multiply ang 2+\sqrt{5} at 2+\sqrt{5} para makuha ang \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ang square ng \sqrt{5} ay 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Idagdag ang 4 at 5 para makuha ang 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Ang anumang idi-divide sa -1 ay magreresulta sa kabaliktaran nito. Para hanapin ang kabaligtaran ng 9+4\sqrt{5}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

I-rationalize ang denominator ng \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Isaalang-alang ang \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

I-square ang 2. I-square ang \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

I-subtract ang 5 mula sa 4 para makuha ang -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

I-multiply ang 2-\sqrt{5} at 2-\sqrt{5} para makuha ang \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Ang square ng \sqrt{5} ay 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Idagdag ang 4 at 5 para makuha ang 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Ang anumang idi-divide sa -1 ay magreresulta sa kabaliktaran nito. Para hanapin ang kabaligtaran ng 9-4\sqrt{5}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

I-subtract ang 9 mula sa -9 para makuha ang -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Pagsamahin ang -4\sqrt{5} at 4\sqrt{5} para makuha ang 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

I-subtract ang a mula sa magkabilang dulo.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

I-square ang magkabilang dulo ng equation.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Kapag na-divide gamit ang 5, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

I-solve ang a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$