Lutasin ang x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

I-solve ang x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 21, ang least common multiple ng 7,3.

$$3x+7y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$-x+42y=364$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+7y=105$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-7y+105$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

I-substitute ang -\frac{7y}{3}+35 para sa x sa kabilang equation na -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

I-multiply ang -1 times -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Idagdag ang \frac{7y}{3} sa 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Idagdag ang 35 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{133}{3}y=399$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{133}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa x=-\frac{7}{3}y+35. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

I-multiply ang -\frac{7}{3} times 9.

$$x=-21+35$$

Idagdag ang 35 sa -21.

$$x=14$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 21, ang least common multiple ng 7,3.

$$3x+7y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$-x+42y=364$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=14,y=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 21, ang least common multiple ng 7,3.

$$3x+7y=105$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$-x+42y=364$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Pasimplehin.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

I-subtract ang -3x+126y=1092 mula sa -3x-7y=-105 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Idagdag ang -7y sa -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Idagdag ang -105 sa -1092.

$$-133y=-1197$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -133.

$$y=9$$

I-substitute ang 9 para sa y sa -x+42y=364. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+42\times 9=364$$

I-multiply ang 42 times 9.

$$-x+378=364$$

I-subtract ang 378 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=14$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=9$$