Lutasin ang x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x+3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 2,4.

$$2x-y=4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=48$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+48$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+12 para sa x sa kabilang equation na 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

I-multiply ang 2 times -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times 8.

$$x=-6+12$$

Idagdag ang 12 sa -6.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x+3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 2,4.

$$2x-y=4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4.

$$4x+3y=48$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 2,4.

$$2x-y=4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Pasimplehin.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

I-subtract ang 8x-4y=16 mula sa 8x+6y=96 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y+4y=96-16$$

Idagdag ang 6y sa 4y.

$$10y=96-16$$

Idagdag ang 96 sa -16.

$$10y=80$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$y=8$$

I-substitute ang 8 para sa y sa 2x-y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-8=4$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=8$$