Lutasin ang f/11=g/33,text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

I-solve ang f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 33, ang least common multiple ng 11,33.

$$3f=g$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

I-substitute ang \frac{g}{3} para sa f sa kabilang equation na f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Idagdag ang \frac{g}{3} sa g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$g=30$$

I-substitute ang 30 para sa g sa f=\frac{1}{3}g. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang f nang direkta.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 30.

$$f=10$$

Nalutas na ang system.

$$f=10,g=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 33, ang least common multiple ng 11,33.

$$3f=g$$

I-subtract ang g mula sa magkabilang dulo.

$$3f-g=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na f at g.

$$f=10,g=30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 33, ang least common multiple ng 11,33.

$$3f=g$$

I-subtract ang g mula sa magkabilang dulo.

$$3f-g=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Para gawing magkatumbas ang 3f at f, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Pasimplehin.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

I-subtract ang 3f+3g=120 mula sa 3f-g=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Idagdag ang 3f sa -3f. Naka-cancel out ang term na 3f at -3f ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-g-3g=-120$$

Idagdag ang -g sa -3g.

$$-4g=-120$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$g=30$$

I-substitute ang 30 para sa g sa f+g=40. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang f nang direkta.

$$f+30=40$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$f=10$$

Nalutas na ang system.

$$f=10,g=30$$