Lutasin ang 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

I-solve ang x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 75 para makuha ang 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 300x at 15x para makuha ang 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

I-subtract ang 315x mula sa magkabilang dulo.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 300x at -315x para makuha ang -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -x^{2}+ax+bx+4500. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -15.

$$a=60 b=-75$$

I-rewrite ang -x^{2}-15x+4500 bilang \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 75 sa pangalawang grupo.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

I-factor out ang common term na -x+60 gamit ang distributive property.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang -x+60=0 at x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 75 para makuha ang 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 300x at 15x para makuha ang 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

I-subtract ang 315x mula sa magkabilang dulo.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 300x at -315x para makuha ang -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -1 para sa a, -15 para sa b, at 4500 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

I-square ang -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 4 times 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Idagdag ang 225 sa 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Kunin ang square root ng 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -15 ay 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{15±135}{-2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 15 sa 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

I-divide ang 150 gamit ang -2.

$$x=-75$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{15±135}{-2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 135 mula sa 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

I-divide ang -120 gamit ang -2.

$$x=60$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-75 x=60$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 75 para makuha ang 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 300x at 15x para makuha ang 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

I-subtract ang 315x mula sa magkabilang dulo.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 300x at -315x para makuha ang -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

I-subtract ang 4500 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Kapag na-divide gamit ang -1, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

I-divide ang -15 gamit ang -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

I-divide ang -4500 gamit ang -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

I-divide ang 15, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{15}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{15}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{15}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Idagdag ang 4500 sa \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

I-factor ang x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=60 x=-75$$