Lutasin ang 7.5/x=7.5/x+15+1/4

$$\frac { 7.5 } { x } = \frac { 7.5 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

I-solve ang x

$$x=-30$$

$$x=15$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 7.5 para makuha ang 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 30x at 15x para makuha ang 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

I-subtract ang 45x mula sa magkabilang dulo.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 30x at -45x para makuha ang -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -x^{2}+ax+bx+450. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-15 ab=-450=-450$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -450.

$$1,-450 2,-225 3,-150 5,-90 6,-75 9,-50 10,-45 15,-30 18,-25$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-450=-449 2-225=-223 3-150=-147 5-90=-85 6-75=-69 9-50=-41 10-45=-35 15-30=-15 18-25=-7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -15.

$$a=15 b=-30$$

I-rewrite ang -x^{2}-15x+450 bilang \left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 30 sa pangalawang grupo.

$$x\left(-x+15\right)+30\left(-x+15\right)$$

I-factor out ang common term na -x+15 gamit ang distributive property.

$$\left(-x+15\right)\left(x+30\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang -x+15=0 at x+30=0.

$$x=15 x=-30$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 7.5 para makuha ang 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 30x at 15x para makuha ang 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

I-subtract ang 45x mula sa magkabilang dulo.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 30x at -45x para makuha ang -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -1 para sa a, -15 para sa b, at 450 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

I-square ang -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 4 times 450.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+1800}}{2\left(-1\right)}$$

Idagdag ang 225 sa 1800.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{2025}}{2\left(-1\right)}$$

Kunin ang square root ng 2025.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±45}{2\left(-1\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -15 ay 15.

$$x=\frac{15±45}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$x=\frac{15±45}{-2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{15±45}{-2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 15 sa 45.

$$x=\frac{60}{-2}$$

I-divide ang 60 gamit ang -2.

$$x=-30$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{15±45}{-2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 45 mula sa 15.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

I-divide ang -30 gamit ang -2.

$$x=15$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-30 x=15$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -15,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4x\left(x+15\right), ang least common multiple ng x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4x+60 gamit ang 7.5.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at 7.5 para makuha ang 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

I-multiply ang 4 at \frac{1}{4} para makuha ang 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang x+15.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

Pagsamahin ang 30x at 15x para makuha ang 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

I-subtract ang 45x mula sa magkabilang dulo.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

Pagsamahin ang 30x at -45x para makuha ang -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

I-subtract ang 450 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$-15x-x^{2}=-450$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-450$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{450}{-1}$$

Kapag na-divide gamit ang -1, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{450}{-1}$$

I-divide ang -15 gamit ang -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{450}{-1}$$

I-divide ang -450 gamit ang -1.

$$x^{2}+15x=450$$

I-divide ang 15, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{15}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{15}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=450+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{15}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=450+\frac{225}{4}$$

Idagdag ang 450 sa \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{2025}{4}$$

I-factor ang x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{45}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{45}{2}$$

I-subtract ang \frac{15}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=15 x=-30$$