Lutasin ang 7/3n=2n+8/3n^2+1/6

$$\frac { 7 } { 3 n } = \frac { 2 n + 8 } { 3 n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 6 }$$

I-solve ang n

$$n=2$$

$$n=8$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Ang variable n ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6n^{2}, ang least common multiple ng 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 6 at \frac{1}{6} para makuha ang 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

I-subtract ang 4n mula sa magkabilang dulo.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Pagsamahin ang 14n at -4n para makuha ang 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo.

$$10n-16=n^{2}$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10n-16-n^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-n^{2}+10n-16=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -n^{2}+an+bn-16. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 10.

$$a=8 b=2$$

I-rewrite ang -n^{2}+10n-16 bilang \left(-n^{2}+8n\right)+\left(2n-16\right).

$$\left(-n^{2}+8n\right)+\left(2n-16\right)$$

I-factor out ang -n sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$-n\left(n-8\right)+2\left(n-8\right)$$

I-factor out ang common term na n-8 gamit ang distributive property.

$$\left(n-8\right)\left(-n+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-8=0 at -n+2=0.

$$n=8 n=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang variable n ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6n^{2}, ang least common multiple ng 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 6 at \frac{1}{6} para makuha ang 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

I-subtract ang 4n mula sa magkabilang dulo.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Pagsamahin ang 14n at -4n para makuha ang 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo.

$$10n-16=n^{2}$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10n-16-n^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-n^{2}+10n-16=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -1 para sa a, 10 para sa b, at -16 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-square ang 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 4 times -16.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-64}}{2\left(-1\right)}$$

Idagdag ang 100 sa -64.

$$n=\frac{-10±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Kunin ang square root ng 36.

$$n=\frac{-10±6}{2\left(-1\right)}$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$n=\frac{-10±6}{-2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-10±6}{-2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -10 sa 6.

$$n=-\frac{4}{-2}$$

I-divide ang -4 gamit ang -2.

$$n=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-10±6}{-2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 6 mula sa -10.

$$n=-\frac{16}{-2}$$

I-divide ang -16 gamit ang -2.

$$n=8$$

Nalutas na ang equation.

$$n=2 n=8$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang variable n ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6n^{2}, ang least common multiple ng 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 2 at 7 para makuha ang 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

I-multiply ang 6 at \frac{1}{6} para makuha ang 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

I-subtract ang 4n mula sa magkabilang dulo.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Pagsamahin ang 14n at -4n para makuha ang 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

I-subtract ang n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$10n-n^{2}=16$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+10n=16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$\frac{-n^{2}+10n}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Kapag na-divide gamit ang -1, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -1.

$$n^{2}+\frac{10}{-1}n=\frac{16}{-1}$$

I-divide ang 10 gamit ang -1.

$$n^{2}-10n=\frac{16}{-1}$$

I-divide ang 16 gamit ang -1.

$$n^{2}-10n=-16$$

I-divide ang -10, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -5. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -5 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-10n+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

I-square ang -5.

$$n^{2}-10n+25=-16+25$$

Idagdag ang -16 sa 25.

$$n^{2}-10n+25=9$$

I-factor ang n^{2}-10n+25. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-5\right)^{2}=9$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pasimplehin.

$$n-5=3 n-5=-3$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=8 n=2$$