Lutasin ang 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+2y=22$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+y=14$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=22$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2y+22}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

I-multiply ang 2 times \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Idagdag ang -\frac{4y}{3} sa y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

I-subtract ang \frac{44}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Idagdag ang \frac{22}{3} sa -\frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+2y=22$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+y=14$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$3x+2y=22$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+y=14$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Pasimplehin.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

I-subtract ang 6x+3y=42 mula sa 6x+4y=44 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-3y=44-42$$

Idagdag ang 4y sa -3y.

$$y=44-42$$

Idagdag ang 44 sa -42.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 2x+y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+2=14$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=2$$