Lutasin ang 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

I-evaluate

$$\frac{1}{r-1}$$

Maiikling Hakbang sa Solution

I-factor out ang r^{2}-1.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng \left(r-1\right)\left(r+1\right) at r+1 ay \left(r-1\right)\left(r+1\right). I-multiply ang \frac{1}{r+1} times \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} at \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}, ibawas ang mga ito sa pamamagitan ng pagbawas sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Gawin ang mga pag-multiply sa 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Pagsamahin ang magkakatulad na term sa 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

I-cancel out ang r+1 sa parehong numerator at denominator.

$$\frac{1}{r-1}$$

I-differentiate ang w.r.t. r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Chain Rule

I-factor out ang r^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng \left(r-1\right)\left(r+1\right) at r+1 ay \left(r-1\right)\left(r+1\right). I-multiply ang \frac{1}{r+1} times \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} at \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}, ibawas ang mga ito sa pamamagitan ng pagbawas sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Gawin ang mga pag-multiply sa 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Pagsamahin ang magkakatulad na term sa 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

I-cancel out ang r+1 sa parehong numerator at denominator.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Kung ang F ay ang composition ng dalawang madi-differentiate na function na f\left(u\right) at u=g\left(x\right), ibig sabihin, kung F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), ang derivative ng F ay ang derivative ng f kaugnay ng u times ang derivative ng g kaugnay ng x, ibig sabihin, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

Ang derivative ng isang polynomial ay ang kabuuan ng mga derivative ng mga term nito. Ang derivative ng anumang constant term ay 0. Ang derivative ng ax^{n} ay nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Pasimplehin.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Para sa anumang term na t, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Para sa anumang term na t maliban sa 0, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$