Lutasin ang 2/x^2-1-x+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { x + 1 } { x - 1 } = 1$$

I-solve ang x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\approx -1.618033989$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -1,1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang \left(x-1\right)\left(x+1\right), ang least common multiple ng x^{2}-1,x-1.

$$2-\left(x+1\right)\left(x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

I-multiply ang x+1 at x+1 para makuha ang \left(x+1\right)^{2}.

$$2-\left(x+1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+1\right)^{2}.

$$2-\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}+2x+1, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$2-x^{2}-2x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

I-subtract ang 1 mula sa 2 para makuha ang 1.

$$1-x^{2}-2x=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Isaalang-alang ang \left(x-1\right)\left(x+1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 1.

$$1-x^{2}-2x=x^{2}-1$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$1-x^{2}-2x-x^{2}=-1$$

Pagsamahin ang -x^{2} at -x^{2} para makuha ang -2x^{2}.

$$1-2x^{2}-2x=-1$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$1-2x^{2}-2x+1=0$$

Idagdag ang 1 at 1 para makuha ang 2.

$$2-2x^{2}-2x=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-2x^{2}-2x+2=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -2 para sa a, -2 para sa b, at 2 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

I-square ang -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang -4 times -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang 8 times 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-2\right)}$$

Idagdag ang 4 sa 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-2\right)}$$

Kunin ang square root ng 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-2\right)}$$

Ang kabaliktaran ng -2 ay 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 2 sa 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-4}$$

I-divide ang 2+2\sqrt{5} gamit ang -4.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2\sqrt{5} mula sa 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-4}$$

I-divide ang 2-2\sqrt{5} gamit ang -4.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang variable x ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -1,1 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang \left(x-1\right)\left(x+1\right), ang least common multiple ng x^{2}-1,x-1.

$$2-\left(x+1\right)\left(x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

I-multiply ang x+1 at x+1 para makuha ang \left(x+1\right)^{2}.

$$2-\left(x+1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+1\right)^{2}.

$$2-\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}+2x+1, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$2-x^{2}-2x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

I-subtract ang 1 mula sa 2 para makuha ang 1.

$$1-x^{2}-2x=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Isaalang-alang ang \left(x-1\right)\left(x+1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 1.

$$1-x^{2}-2x=x^{2}-1$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$1-x^{2}-2x-x^{2}=-1$$

Pagsamahin ang -x^{2} at -x^{2} para makuha ang -2x^{2}.

$$1-2x^{2}-2x=-1$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$-2x^{2}-2x=-1-1$$

I-subtract ang 1 mula sa -1 para makuha ang -2.

$$-2x^{2}-2x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{2}{-2}$$

Kapag na-divide gamit ang -2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{2}{-2}$$

I-divide ang -2 gamit ang -2.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-2}$$

I-divide ang -2 gamit ang -2.

$$x^{2}+x=1$$

I-divide ang 1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang 1 sa \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

I-factor ang x^{2}+x+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$