Lutasin ang 2/9a^2-2a-1=0

$$\frac { 2 } { 9 } a ^ { 2 } - 2 a - 1 = 0$$

I-solve ang a

$$a = \frac{3 \sqrt{11} + 9}{2} \approx 9.474937186$$

$$a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}\approx -0.474937186$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang \frac{2}{9} para sa a, -2 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times \frac{2}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

I-square ang -2.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times \frac{2}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

I-multiply ang -4 times \frac{2}{9}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-\frac{8}{9}\left(-1\right)}}{2\times \frac{2}{9}}$$

I-multiply ang -\frac{8}{9} times -1.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+\frac{8}{9}}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Idagdag ang 4 sa \frac{8}{9}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\frac{44}{9}}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Kunin ang square root ng \frac{44}{9}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{2\times \frac{2}{9}}$$

Ang kabaliktaran ng -2 ay 2.

$$a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{2\times \frac{2}{9}}$$

I-multiply ang 2 times \frac{2}{9}.

$$a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}}$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 2 sa \frac{2\sqrt{11}}{3}.

$$a=\frac{\frac{2\sqrt{11}}{3}+2}{\frac{4}{9}}$$

I-divide ang 2+\frac{2\sqrt{11}}{3} gamit ang \frac{4}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa 2+\frac{2\sqrt{11}}{3} gamit ang reciprocal ng \frac{4}{9}.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{2±\frac{2\sqrt{11}}{3}}{\frac{4}{9}} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang \frac{2\sqrt{11}}{3} mula sa 2.

$$a=\frac{-\frac{2\sqrt{11}}{3}+2}{\frac{4}{9}}$$

I-divide ang 2-\frac{2\sqrt{11}}{3} gamit ang \frac{4}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa 2-\frac{2\sqrt{11}}{3} gamit ang reciprocal ng \frac{4}{9}.

$$a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2} a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$\frac{2}{9}a^{2}-2a=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$\frac{\frac{2}{9}a^{2}-2a}{\frac{2}{9}}=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

Kapag na-divide gamit ang \frac{2}{9}, ma-a-undo ang multiplication gamit ang \frac{2}{9}.

$$a^{2}+\left(-\frac{2}{\frac{2}{9}}\right)a=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

I-divide ang -2 gamit ang \frac{2}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa -2 gamit ang reciprocal ng \frac{2}{9}.

$$a^{2}-9a=\frac{1}{\frac{2}{9}}$$

I-divide ang 1 gamit ang \frac{2}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa 1 gamit ang reciprocal ng \frac{2}{9}.

$$a^{2}-9a=\frac{9}{2}$$

I-divide ang -9, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$a^{2}-9a+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$a^{2}-9a+\frac{81}{4}=\frac{9}{2}+\frac{81}{4}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa \frac{81}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a^{2}-9a+\frac{81}{4}=\frac{99}{4}$$

I-factor ang a^{2}-9a+\frac{81}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{99}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(a-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{99}{4}}$$

Pasimplehin.

$$a-\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{11}}{2} a-\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{11}}{2}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=\frac{3\sqrt{11}+9}{2} a=\frac{9-3\sqrt{11}}{2}$$