Lutasin ang frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}+frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}+frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } + \frac { 2 - \sqrt { 3 } } { 2 + \sqrt { 3 } } + \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } - 1 }$$

I-evaluate

$$\sqrt{3}+16\approx 17.732050808$$

Mga Hakbang ng Solution

I-rationalize ang denominator ng \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

Isaalang-alang ang \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-square ang 2. I-square ang \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-subtract ang 3 mula sa 4 para makuha ang 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

Ang anumang numero na idi-divide sa isa, ang sagot ay ang numerong ito pa rin.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-multiply ang 2+\sqrt{3} at 2+\sqrt{3} para makuha ang \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-rationalize ang denominator ng \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

Isaalang-alang ang \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-square ang 2. I-square ang \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-subtract ang 3 mula sa 4 para makuha ang 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

Ang anumang numero na idi-divide sa isa, ang sagot ay ang numerong ito pa rin.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-multiply ang 2-\sqrt{3} at 2-\sqrt{3} para makuha ang \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

I-rationalize ang denominator ng \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} sa pamamagitan ng pag-multiply ng numerator at denominator sa \sqrt{3}+1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$$

Isaalang-alang ang \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

I-square ang \sqrt{3}. I-square ang 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}$$

I-subtract ang 1 mula sa 3 para makuha ang 2.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}$$

I-multiply ang \sqrt{3}+1 at \sqrt{3}+1 para makuha ang \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}$$

Idagdag ang 3 at 1 para makuha ang 4.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$$

Hati-hatiin ang bawat termino ng 4+2\sqrt{3} sa 2 para makuha ang 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+2+\sqrt{3}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+2+\sqrt{3}$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$4+4\sqrt{3}+3+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+2+\sqrt{3}$$

Idagdag ang 4 at 3 para makuha ang 7.

$$7+4\sqrt{3}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}+2+\sqrt{3}$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}+4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2+\sqrt{3}$$

Ang square ng \sqrt{3} ay 3.

$$7+4\sqrt{3}+4-4\sqrt{3}+3+2+\sqrt{3}$$

Idagdag ang 4 at 3 para makuha ang 7.

$$7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}+2+\sqrt{3}$$

Idagdag ang 7 at 7 para makuha ang 14.

$$14+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2+\sqrt{3}$$

Pagsamahin ang 4\sqrt{3} at -4\sqrt{3} para makuha ang 0.

$$14+2+\sqrt{3}$$

Idagdag ang 14 at 2 para makuha ang 16.

$$16+\sqrt{3}$$