Ratkaise z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Korvaa z^{3} arvolla t.

$$t^{2}-t+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -1 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Koska z=t^{3}, ratkaisut haetaan yhtälön ratkaisu t mukaan.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$