Ratkaise z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=1$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -8 ja q jakaa johtavan kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$z=1$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla z-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa z^{3}+3z^{2}+4z-8 luvulla z-1, jolloin ratkaisuksi tulee z^{2}+4z+8. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 4 tilalle b ja muuttujan 8 tilalle c.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$z\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$z=1$$