Ratkaise z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -2i ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Korota -2i neliöön.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Kerro -4 ja 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Lisää -4 lukuun -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Ota luvun -16 neliöjuuri.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{2i±4i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2i lukuun 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Jaa 6i luvulla 2.

$$z=3i$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{2i±4i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i luvusta 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Jaa -2i luvulla 2.

$$z=-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=3i z=-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Jaa -2i (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -i. Lisää sitten -i:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Korota -i neliöön.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Lisää -3 lukuun -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Jaa z^{2}-2iz-1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Sievennä.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Lisää i yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=3i z=-i$$