Ratkaise z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2z+5 ja z+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Vähennä 2z^{2} molemmilta puolilta.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Selvitä -z^{2} yhdistämällä z^{2} ja -2z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Vähennä 17z molemmilta puolilta.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Selvitä -14z yhdistämällä 3z ja -17z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Vähennä 30 luvusta -30 saadaksesi tuloksen -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -14 ja c luvulla -60 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -14 neliöön.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 196 lukuun -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -44 neliöjuuri.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Jaa 14+2i\sqrt{11} luvulla -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{11} luvusta 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Jaa 14-2i\sqrt{11} luvulla -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2z+5 ja z+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Vähennä 2z^{2} molemmilta puolilta.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Selvitä -z^{2} yhdistämällä z^{2} ja -2z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Vähennä 17z molemmilta puolilta.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Selvitä -14z yhdistämällä 3z ja -17z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Lisää 30 molemmille puolille.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Selvitä 60 laskemalla yhteen 30 ja 30.

$$-z^{2}-14z=60$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Jaa -14 luvulla -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Jaa 60 luvulla -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Jaa 14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 7. Lisää sitten 7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Lisää -60 lukuun 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Jaa z^{2}+14z+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Sievennä.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$