Ratkaise z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=-5$$

$$z=2$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin z^{2}+3z-10 käyttämällä kaavaa z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$-1,10 -2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-2 b=5$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(z+a\right)\left(z+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista z-2=0 ja z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon z^{2}+az+bz-10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$-1,10 -2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-2 b=5$$

Kirjoita \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right) uudelleen muodossa z^{2}+3z-10.

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Jaa z toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Jaa yleinen termi z-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista z-2=0 ja z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-3±7}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$z=2$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-3±7}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Jaa -10 luvulla 2.

$$z=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=2 z=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Lisää 10 lukuun \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa z^{2}+3z+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=2 z=-5$$