Ratkaise y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=12$$

$$y=38$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-3x=2$$

Lisää 3x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=3x+2$$

Korvaa y arvolla 3x+2 toisessa yhtälössä, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Kerro -2 ja 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Lisää -6x lukuun 7x.

$$x-4=8$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12$$

Korvaa x arvolla 12 yhtälössä y=3x+2. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=3\times 12+2$$

Kerro 3 ja 12.

$$y=36+2$$

Lisää 2 lukuun 36.

$$y=38$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=38,x=12$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=38,x=12$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Jos haluat saada luvut y ja -2y yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Sievennä.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Vähennä -2y+7x=8 lausekkeesta -2y+6x=-4 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Lisää -2y lukuun 2y. Termit -2y ja 2y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$6x-7x=-4-8$$

Lisää 6x lukuun -7x.

$$-x=-4-8$$

Lisää -4 lukuun -8.

$$-x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$x=12$$

Korvaa x arvolla 12 yhtälössä -2y+7x=8. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$-2y+7\times 12=8$$

Kerro 7 ja 12.

$$-2y+84=8$$

Vähennä 84 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2y=-76$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$y=38$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=38,x=12$$