Ratkaise y^2-y+7=0

$$y ^ { 2 } - y + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+2,598076211i$$

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-2,598076211i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}-y+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7}}{2}$$

Kerro -4 ja 7.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28}}{2}$$

Lisää 1 lukuun -28.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27}}{2}$$

Ota luvun -27 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{3}i}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 3i\sqrt{3}.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{3} luvusta 1.

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-y+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y^{2}-y+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}-y=-7$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-7+\frac{1}{4}$$

Lisää -7 lukuun \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-\frac{27}{4}$$

Jaa y^{2}-y+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$