Ratkaise y^2-8y+12=0

$$y ^ { 2 } - 8 y + 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=2$$

$$y=6$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen y^{2}-8y+12 tekijöihin käyttämällä kaavaa y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-8 ab=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -8.

$$a=-6 b=-2$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(y+a\right)\left(y+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt y-6=0 ja y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon y^{2}+ay+by+12. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -8.

$$a=-6 b=-2$$

Kirjoita \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right) uudelleen muodossa y^{2}-8y+12.

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Ota y tekijäksi ensimmäisessä ja -2 toisessa ryhmässä.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi y-6 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt y-6=0 ja y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -8 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Kerro -4 ja 12.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Lisää 64 lukuun -48.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$y=\frac{8±4}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{8±4}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 4.

$$y=\frac{12}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$y=6$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{8±4}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 8.

$$y=\frac{4}{2}$$

Jaa 4 luvulla 2.

$$y=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=6 y=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y^{2}-8y+12-12=-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}-8y=-12$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$y^{2}-8y+16=-12+16$$

Lisää -12 lukuun 16.

$$y^{2}-8y+16=4$$

Jaa y^{2}-8y+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-4\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$y-4=2 y-4=-2$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=6 y=2$$