Ratkaise y^2-4y=6

$$y ^ { 2 } - 4 y = 6$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\sqrt{10}+2\approx 5,16227766$$

$$y=2-\sqrt{10}\approx -1,16227766$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}-4y=6$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y^{2}-4y-6=6-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}-4y-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-6\right)}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-6\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -6.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24}}{2}$$

Lisää 16 lukuun 24.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{40}}{2}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$y=\frac{4±2\sqrt{10}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{4±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2\sqrt{10}.

$$y=\frac{2\sqrt{10}+4}{2}$$

Jaa 4+2\sqrt{10} luvulla 2.

$$y=\sqrt{10}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{4±2\sqrt{10}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta 4.

$$y=\frac{4-2\sqrt{10}}{2}$$

Jaa 4-2\sqrt{10} luvulla 2.

$$y=2-\sqrt{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\sqrt{10}+2 y=2-\sqrt{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-4y=6$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=6+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$y^{2}-4y+4=6+4$$

Lisää 6 lukuun 4.

$$y^{2}-4y+4=10$$

Jaa y^{2}-4y+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=10$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Sievennä.

$$y-2=\sqrt{10} y-2=-\sqrt{10}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\sqrt{10}+2 y=2-\sqrt{10}$$