Ratkaise y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=7$$

$$y=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=5$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-x=-9$$

Lisää x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=x-9$$

Korvaa y arvolla x-9 toisessa yhtälössä, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Lisää x lukuun x.

$$2x-9=5$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=7$$

Korvaa x arvolla 7 yhtälössä y=x-9. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=7-9$$

Lisää -9 lukuun 7.

$$y=-2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-2,x=7$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=5$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=-2,x=7$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=5$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Vähennä y+x=5 lausekkeesta y-x=-9 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-x-x=-9-5$$

Lisää -x lukuun -x.

$$-2x=-9-5$$

Lisää -9 lukuun -5.

$$-2x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$x=7$$

Korvaa x arvolla 7 yhtälössä y+x=5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+7=5$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-2,x=7$$