Ratkaise y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=-1$$

$$y=4$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=5$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=3$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-x=5,y+x=3$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-x=5$$

Lisää x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=x+5$$

Korvaa y arvolla x+5 toisessa yhtälössä, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Lisää x lukuun x.

$$2x+5=3$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=-1$$

Korvaa x arvolla -1 yhtälössä y=x+5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=-1+5$$

Lisää 5 lukuun -1.

$$y=4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=4,x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=5$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=3$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-x=5,y+x=3$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2-matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) käänteismatriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisiyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen matriisikertolaskuna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=4,x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä x molemmilta puolilta.

$$y-x=5$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää x molemmille puolille.

$$y+x=3$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-x=5,y+x=3$$

Vähennä y+x=3 lausekkeesta y-x=5 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-x-x=5-3$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-x-x=5-3$$

Lisää -x lukuun -x.

$$-2x=5-3$$

Lisää 5 lukuun -3.

$$-2x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$x=-1$$

Korvaa x arvolla -1 yhtälössä y+x=3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y-1=3$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=4,x=-1$$