Ratkaise y=e^x(Acosx+bsinx

$$y = e ^ { x } ( A \cos x + b \sin x$$

Ratkaise muuttujan A suhteen

$$\left\{\begin{matrix}A=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}+\frac{\pi }{2}\\A\in \mathrm{R}\text{, }&y=b\sin(x)e^{x}\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\frac{\pi \left(2n_{1}+1\right)}{2}\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen e^{x} ja A\cos(x)+b\sin(x) tulo käyttämällä osittelulakia.

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Vähennä e^{x}b\sin(x) molemmilta puolilta.

$$e^{x}A\cos(x)=y-e^{x}b\sin(x)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\cos(x)e^{x}A=-b\sin(x)e^{x}+y$$

Jaa molemmat puolet luvulla e^{x}\cos(x).

$$\frac{\cos(x)e^{x}A}{\cos(x)e^{x}}=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Jakaminen luvulla e^{x}\cos(x) kumoaa kertomisen luvulla e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{-b\sin(x)e^{x}+y}{\cos(x)e^{x}}$$

Jaa y-e^{x}b\sin(x) luvulla e^{x}\cos(x).

$$A=\frac{\frac{y}{e^{x}}-b\sin(x)}{\cos(x)}$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\\b\in \mathrm{R}\text{, }&y=A\cos(x)e^{x}\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen e^{x} ja A\cos(x)+b\sin(x) tulo käyttämällä osittelulakia.

$$y=e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$e^{x}A\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=y$$

Vähennä e^{x}A\cos(x) molemmilta puolilta.

$$e^{x}b\sin(x)=y-e^{x}A\cos(x)$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\sin(x)e^{x}b=-A\cos(x)e^{x}+y$$

Jaa molemmat puolet luvulla e^{x}\sin(x).

$$\frac{\sin(x)e^{x}b}{\sin(x)e^{x}}=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Jakaminen luvulla e^{x}\sin(x) kumoaa kertomisen luvulla e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{-A\cos(x)e^{x}+y}{\sin(x)e^{x}}$$

Jaa y-e^{x}A\cos(x) luvulla e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{\frac{y}{e^{x}}-A\cos(x)}{\sin(x)}$$