Ratkaise y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=1$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=-1$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-2x=-1$$

Lisää 2x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2x-1$$

Korvaa y arvolla 2x-1 toisessa yhtälössä, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Lisää 2x lukuun 2x.

$$4x-1=3$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=1$$

Korvaa x arvolla 1 yhtälössä y=2x-1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=2-1$$

Lisää -1 lukuun 2.

$$y=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=1,x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=-1$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2-matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) käänteismatriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisiyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen matriisikertolaskuna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=1,x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=-1$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Vähennä y+2x=3 lausekkeesta y-2x=-1 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-2x-2x=-1-3$$

Lisää -2x lukuun -2x.

$$-4x=-1-3$$

Lisää -1 lukuun -3.

$$-4x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$x=1$$

Korvaa x arvolla 1 yhtälössä y+2x=3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+2=3$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=1,x=1$$