Ratkaise y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=3$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2y molemmilta puolilta.

$$x-2y=3$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-2x=3$$

Lisää 2x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2x+3$$

Korvaa y arvolla 2x+3 toisessa yhtälössä, -2y+x=3.

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Kerro -2 ja 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Lisää -4x lukuun x.

$$-3x-6=3$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-3x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$x=-3$$

Korvaa x arvolla -3 yhtälössä y=2x+3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Kerro 2 ja -3.

$$y=-6+3$$

Lisää 3 lukuun -6.

$$y=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-3,x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=3$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2y molemmilta puolilta.

$$x-2y=3$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=-3,x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=3$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2y molemmilta puolilta.

$$x-2y=3$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Jos haluat saada luvut y ja -2y yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Sievennä.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Vähennä -2y+x=3 lausekkeesta -2y+4x=-6 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Lisää -2y lukuun 2y. Termit -2y ja 2y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4x-x=-6-3$$

Lisää 4x lukuun -x.

$$3x=-6-3$$

Lisää -6 lukuun -3.

$$3x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=-3$$

Korvaa x arvolla -3 yhtälössä -2y+x=3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$-2y-3=3$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-2y=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$y=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-3,x=-3$$