Ratkaise y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=2$$

$$y=5$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=1$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-2x=1$$

Lisää 2x yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=2x+1$$

Korvaa y arvolla 2x+1 toisessa yhtälössä, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Lisää 2x lukuun x.

$$3x+1=7$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä y=2x+1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=2\times 2+1$$

Kerro 2 ja 2.

$$y=4+1$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$y=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=5,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=1$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=5,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=1$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Vähennä y+x=7 lausekkeesta y-2x=1 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-2x-x=1-7$$

Lisää -2x lukuun -x.

$$-3x=1-7$$

Lisää 1 lukuun -7.

$$-3x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä y+x=7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+2=7$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=5,x=2$$