Ratkaise y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=2$$

$$y=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää \frac{3}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää \frac{1}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Vähennä \frac{3x}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Korvaa y arvolla -\frac{3x}{2} toisessa yhtälössä, y+\frac{1}{2}x=-2.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Lisää -\frac{3x}{2} lukuun \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä y=-\frac{3}{2}x. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Kerro -\frac{3}{2} ja 2.

$$y=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-3,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää \frac{3}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää \frac{1}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=-3,x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Lisää \frac{3}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää \frac{1}{2}x molemmille puolille.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Vähennä y+\frac{1}{2}x=-2 lausekkeesta y+\frac{3}{2}x=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Lisää \frac{3x}{2} lukuun -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

Korvaa x arvolla 2 yhtälössä y+\frac{1}{2}x=-2. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Kerro \frac{1}{2} ja 2.

$$y+1=-2$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-3$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-3,x=2$$