Ratkaise y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{4}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=8$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Lisää \frac{4x}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Korvaa y arvolla \frac{-28+4x}{3} toisessa yhtälössä, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Lisää \frac{4x}{3} lukuun -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Lisää \frac{28}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{2}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$x=-26$$

Korvaa x arvolla -26 yhtälössä y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Kerro \frac{4}{3} ja -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Lisää -\frac{28}{3} lukuun -\frac{104}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y=-44$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-44,x=-26$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{4}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=8$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=-44,x=-26$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{4}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Tarkastele toista yhtälöä. Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$y-2x=8$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Vähennä y-2x=8 lausekkeesta y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Lisää -\frac{4x}{3} lukuun 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Lisää -\frac{28}{3} lukuun -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{2}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$x=-26$$

Korvaa x arvolla -26 yhtälössä y-2x=8. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Kerro -2 ja -26.

$$y+52=8$$

Vähennä 52 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-44$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=-44,x=-26$$