Ratkaise y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Ratkaise muuttujan y, x suhteen

$$x=18$$

$$y=6$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{1}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 3x molemmille puolille.

$$y+3x=60$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se y:n suhteen eristämällä y yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Lisää \frac{x}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Korvaa y arvolla \frac{x}{3} toisessa yhtälössä, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Lisää \frac{x}{3} lukuun 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{10}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$x=18$$

Korvaa x arvolla 18 yhtälössä y=\frac{1}{3}x. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Kerro \frac{1}{3} ja 18.

$$y=6$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=6,x=18$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{1}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 3x molemmille puolille.

$$y+3x=60$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot y ja x.

$$y=6,x=18$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä \frac{1}{3}x molemmilta puolilta.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 3x molemmille puolille.

$$y+3x=60$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Vähennä y+3x=60 lausekkeesta y-\frac{1}{3}x=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Lisää y lukuun -y. Termit y ja -y kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Lisää -\frac{x}{3} lukuun -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{10}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$x=18$$

Korvaa x arvolla 18 yhtälössä y+3x=60. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista y:n suoraan.

$$y+3\times 18=60$$

Kerro 3 ja 18.

$$y+54=60$$

Vähennä 54 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=6$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$y=6,x=18$$