Ratkaise y+y*y=9

$$y + y \cdot y = 9$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{37} - 1}{2} \approx 2,541381265$$

$$y=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}\approx -3,541381265$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro y ja y, niin saadaan y^{2}.

$$y+y^{2}=9$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$y+y^{2}-9=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}+y-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+36}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 36.

$$y=\frac{-1±\sqrt{37}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-1±\sqrt{37}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{37}.

$$y=\frac{\sqrt{37}-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-1±\sqrt{37}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{37} luvusta -1.

$$y=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{37}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro y ja y, niin saadaan y^{2}.

$$y+y^{2}=9$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+y=9$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=9+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=9+\frac{1}{4}$$

Lisää 9 lukuun \frac{1}{4}.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$$

Jaa y^{2}+y+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{37}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$