Ratkaise x(x-6sqrt{2})+65=0

$$x(x-6 \sqrt{ 2 } )+65=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i\approx 4,242640687+6,8556546i$$

$$x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}\approx 4,242640687-6,8556546i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja x-6\sqrt{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}+65=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+65=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6\sqrt{2} ja c luvulla 65 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{\left(-6\sqrt{2}\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Korota -6\sqrt{2} neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{72-4\times 65}}{2}$$

Kerro -4 ja 65.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{72-260}}{2}$$

Lisää 72 lukuun -260.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±\sqrt{-188}}{2}$$

Ota luvun -188 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\sqrt{2}\right)±2\sqrt{47}i}{2}$$

Luvun -6\sqrt{2} vastaluku on 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6\sqrt{2} lukuun 2i\sqrt{47}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{47}i}{2}$$

Jaa 6\sqrt{2}+2i\sqrt{47} luvulla 2.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6\sqrt{2}±2\sqrt{47}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{47} luvusta 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2\sqrt{47}i+6\sqrt{2}}{2}$$

Jaa 6\sqrt{2}-2i\sqrt{47} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja x-6\sqrt{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}+65=0$$

Vähennä 65 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$x^{2}-6x\sqrt{2}=-65$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x=-65$$

Jaa -6\sqrt{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3\sqrt{2}. Lisää sitten -3\sqrt{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}=-65+\left(-3\sqrt{2}\right)^{2}$$

Korota -3\sqrt{2} neliöön.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18=-65+18$$

Lisää -65 lukuun 18.

$$x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18=-47$$

Jaa x^{2}+\left(-6\sqrt{2}\right)x+18 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\sqrt{2}\right)^{2}=-47$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\sqrt{2}\right)^{2}}=\sqrt{-47}$$

Sievennä.

$$x-3\sqrt{2}=\sqrt{47}i x-3\sqrt{2}=-\sqrt{47}i$$

Lisää 3\sqrt{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3\sqrt{2}+\sqrt{47}i x=-\sqrt{47}i+3\sqrt{2}$$