Ratkaise x(-11x/5)+5(-11x/5)=22

$$x(- \frac{ 11x }{ 5 } )+5(- \frac{ 11x }{ 5 } )=22$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{15}i}{2}\approx -2,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-5}{2}\approx -2,5-1,936491673i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 5.

$$5x\left(-\frac{11x}{5}\right)+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Ilmaise 5\left(-\frac{11x}{5}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{-5\times 11x}{5}x+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Supista 5 ja 5.

$$-11xx+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Supista lausekkeiden 25 ja 5 suurin yhteinen tekijä 5.

$$-11xx-5\times 11x=110$$

Kerro -1 ja 11, niin saadaan -11. Kerro -5 ja 11, niin saadaan -55.

$$-11xx-55x=110$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$-11x^{2}-55x=110$$

Vähennä 110 molemmilta puolilta.

$$-11x^{2}-55x-110=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -11, b luvulla -55 ja c luvulla -110 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-11\right)\left(-110\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Korota -55 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-11\right)\left(-110\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Kerro -4 ja -11.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+44\left(-110\right)}}{2\left(-11\right)}$$

Kerro 44 ja -110.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4840}}{2\left(-11\right)}$$

Lisää 3025 lukuun -4840.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{-1815}}{2\left(-11\right)}$$

Ota luvun -1815 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±11\sqrt{15}i}{2\left(-11\right)}$$

Luvun -55 vastaluku on 55.

$$x=\frac{55±11\sqrt{15}i}{2\left(-11\right)}$$

Kerro 2 ja -11.

$$x=\frac{55±11\sqrt{15}i}{-22}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{55±11\sqrt{15}i}{-22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 55 lukuun 11i\sqrt{15}.

$$x=\frac{55+11\sqrt{15}i}{-22}$$

Jaa 55+11i\sqrt{15} luvulla -22.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{55±11\sqrt{15}i}{-22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11i\sqrt{15} luvusta 55.

$$x=\frac{-11\sqrt{15}i+55}{-22}$$

Jaa 55-11i\sqrt{15} luvulla -22.

$$x=\frac{-5+\sqrt{15}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-5}{2} x=\frac{-5+\sqrt{15}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 5.

$$5x\left(-\frac{11x}{5}\right)+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Ilmaise 5\left(-\frac{11x}{5}\right) säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{-5\times 11x}{5}x+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Supista 5 ja 5.

$$-11xx+25\left(-\frac{11x}{5}\right)=110$$

Supista lausekkeiden 25 ja 5 suurin yhteinen tekijä 5.

$$-11xx-5\times 11x=110$$

Kerro -1 ja 11, niin saadaan -11. Kerro -5 ja 11, niin saadaan -55.

$$-11xx-55x=110$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$-11x^{2}-55x=110$$

Jaa molemmat puolet luvulla -11.

$$\frac{-11x^{2}-55x}{-11}=\frac{110}{-11}$$

Jakaminen luvulla -11 kumoaa kertomisen luvulla -11.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-11}\right)x=\frac{110}{-11}$$

Jaa -55 luvulla -11.

$$x^{2}+5x=\frac{110}{-11}$$

Jaa 110 luvulla -11.

$$x^{2}+5x=-10$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-10+\frac{25}{4}$$

Lisää -10 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{15}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-5}{2}$$