Ratkaise x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 16x^{2} molemmille puolille.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Vähennä 81x molemmilta puolilta.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Selvitä -80x yhdistämällä x ja -81x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla -80 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Korota -80 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Lisää 6400 lukuun 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Ota luvun 6720 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Luvun -80 vastaluku on 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 80 lukuun 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Jaa 80+8\sqrt{105} luvulla 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{105} luvusta 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Jaa 80-8\sqrt{105} luvulla 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 16x^{2} molemmille puolille.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Vähennä 81x molemmilta puolilta.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Selvitä -80x yhdistämällä x ja -81x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Jaa -80 luvulla 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Lisää \frac{5}{16} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$