Ratkaise x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=32$$

$$y=27$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$x-y=5$$

Lisää y yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=y+5$$

Korvaa x arvolla y+5 toisessa yhtälössä, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Kerro -4 ja y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Lisää -4y lukuun 5y.

$$y-20=7$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=27$$

Korvaa y arvolla 27 yhtälössä x=y+5. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=27+5$$

Lisää 5 lukuun 27.

$$x=32$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=32,y=27$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=32,y=27$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Jos haluat saada luvut x ja -4x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -4 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Sievennä.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Vähennä -4x+5y=7 lausekkeesta -4x+4y=-20 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Lisää -4x lukuun 4x. Termit -4x ja 4x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4y-5y=-20-7$$

Lisää 4y lukuun -5y.

$$-y=-20-7$$

Lisää -20 lukuun -7.

$$-y=-27$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$y=27$$

Korvaa y arvolla 27 yhtälössä -4x+5y=7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$-4x+5\times 27=7$$

Kerro 5 ja 27.

$$-4x+135=7$$

Vähennä 135 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4x=-128$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$x=32$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=32,y=27$$