Ratkaise x-x^2=5/18

$$x - x ^ { 2 } = \frac { 5 } { 18 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i\approx 0,5+0,166666667i$$

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i\approx 0,5-0,166666667i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x=\frac{5}{18}$$

Vähennä \frac{5}{18} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+x-\frac{5}{18}=\frac{5}{18}-\frac{5}{18}$$

Kun luku \frac{5}{18} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+x-\frac{5}{18}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla -\frac{5}{18} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-\frac{5}{18}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-\frac{5}{18}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-\frac{5}{18}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -\frac{5}{18}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{10}{9}}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun -\frac{10}{9}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-\frac{1}{9}}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -\frac{1}{9} neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\frac{1}{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\frac{1}{3}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\frac{1}{3}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \frac{1}{3}i.

$$x=\frac{-1+\frac{1}{3}i}{-2}$$

Jaa -1+\frac{1}{3}i luvulla -2.

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\frac{1}{3}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{1}{3}i luvusta -1.

$$x=\frac{-1-\frac{1}{3}i}{-2}$$

Jaa -1-\frac{1}{3}i luvulla -2.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=\frac{5}{18}$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{\frac{5}{18}}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{\frac{5}{18}}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=\frac{\frac{5}{18}}{-1}$$

Jaa \frac{5}{18} luvulla -1.

$$x^{2}-x=-\frac{5}{18}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{18}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{5}{18} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{36}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}i x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}i$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}i x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}i$$