Ratkaise x-2x^2=8

$$x - 2 x ^ { 2 } = 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}\approx 0,25-1,984313483i$$

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}\approx 0,25+1,984313483i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+x=8$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+x-8=8-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 1 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 1 lukuun -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -63 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-4}$$

Jaa -1+3i\sqrt{7} luvulla -4.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{7} luvusta -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-4}$$

Jaa -1-3i\sqrt{7} luvulla -4.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{8}{-2}$$

Jaa 1 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{8}{-2}$$

Jaa 8 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-4$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-4+\frac{1}{16}$$

Lisää -4 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{63}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$