Ratkaise x(3-x)+x(2-x)=-25

$$x ( 3 - x ) + x ( 2 - x ) = - 25$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja 3-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-x^{2}+x\left(2-x\right)=-25$$

Laske lukujen x ja 2-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-x^{2}+2x-x^{2}=-25$$

Selvitä 5x yhdistämällä 3x ja 2x.

$$5x-x^{2}-x^{2}=-25$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$5x-2x^{2}=-25$$

Lisää 25 molemmille puolille.

$$5x-2x^{2}+25=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+5x+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 5 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 25}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 25}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 25}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 25.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+200}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 25 lukuun 200.

$$x=\frac{-5±\sqrt{225}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 225 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±15}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-5±15}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±15}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 15.

$$x=\frac{10}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{10}{-4} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±15}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 15 luvusta -5.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Jaa -20 luvulla -4.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{5}{2} x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja 3-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-x^{2}+x\left(2-x\right)=-25$$

Laske lukujen x ja 2-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-x^{2}+2x-x^{2}=-25$$

Selvitä 5x yhdistämällä 3x ja 2x.

$$5x-x^{2}-x^{2}=-25$$

Selvitä -2x^{2} yhdistämällä -x^{2} ja -x^{2}.

$$5x-2x^{2}=-25$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x=-25$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{25}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{25}{-2}$$

Jaa 5 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{25}{-2}$$

Jaa -25 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{25}{2}$$

Jaa -\frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{4}. Lisää sitten -\frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{25}{2}+\frac{25}{16}$$

Lisää \frac{25}{2} lukuun \frac{25}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{225}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{15}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=-\frac{5}{2}$$