Ratkaise x*(1000-20x+500)=27000

$$x \times (1000-20x+500)=27000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=30$$

$$x=45$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 1500 laskemalla yhteen 1000 ja 500.

$$x\left(1500-20x\right)=27000$$

Laske lukujen x ja 1500-20x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1500x-20x^{2}=27000$$

Vähennä 27000 molemmilta puolilta.

$$1500x-20x^{2}-27000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-20x^{2}+1500x-27000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -20, b luvulla 1500 ja c luvulla -27000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{1500^{2}-4\left(-20\right)\left(-27000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Korota 1500 neliöön.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-4\left(-20\right)\left(-27000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro -4 ja -20.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000+80\left(-27000\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 80 ja -27000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-2160000}}{2\left(-20\right)}$$

Lisää 2250000 lukuun -2160000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{90000}}{2\left(-20\right)}$$

Ota luvun 90000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1500±300}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 2 ja -20.

$$x=\frac{-1500±300}{-40}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1500±300}{-40}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1500 lukuun 300.

$$x=-\frac{1200}{-40}$$

Jaa -1200 luvulla -40.

$$x=30$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1500±300}{-40}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 300 luvusta -1500.

$$x=-\frac{1800}{-40}$$

Jaa -1800 luvulla -40.

$$x=45$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=30 x=45$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 1500 laskemalla yhteen 1000 ja 500.

$$x\left(1500-20x\right)=27000$$

Laske lukujen x ja 1500-20x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1500x-20x^{2}=27000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+1500x=27000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -20.

$$\frac{-20x^{2}+1500x}{-20}=\frac{27000}{-20}$$

Jakaminen luvulla -20 kumoaa kertomisen luvulla -20.

$$x^{2}+\frac{1500}{-20}x=\frac{27000}{-20}$$

Jaa 1500 luvulla -20.

$$x^{2}-75x=\frac{27000}{-20}$$

Jaa 27000 luvulla -20.

$$x^{2}-75x=-1350$$

Jaa -75 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{75}{2}. Lisää sitten -\frac{75}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-75x+\left(-\frac{75}{2}\right)^{2}=-1350+\left(-\frac{75}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{75}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-75x+\frac{5625}{4}=-1350+\frac{5625}{4}$$

Lisää -1350 lukuun \frac{5625}{4}.

$$x^{2}-75x+\frac{5625}{4}=\frac{225}{4}$$

Jaa x^{2}-75x+\frac{5625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{75}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{75}{2}=\frac{15}{2} x-\frac{75}{2}=-\frac{15}{2}$$

Lisää \frac{75}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=45 x=30$$