Ratkaise x*(x-1)=-2*(x^2+x+1)

$$x \cdot ( x - 1 ) = - 2 \cdot ( x ^ { 2 } + x + 1 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}\approx -0,166666667+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,799305254i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x=-2\left(x^{2}+x+1\right)$$

Laske lukujen -2 ja x^{2}+x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x=-2x^{2}-2x-2$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}-x+2x^{2}=-2x-2$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 2x^{2}.

$$3x^{2}-x=-2x-2$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$3x^{2}-x+2x=-2$$

Selvitä x yhdistämällä -x ja 2x.

$$3x^{2}+x=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$3x^{2}+x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 1 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 3}$$

Lisää 1 lukuun -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x=-2\left(x^{2}+x+1\right)$$

Laske lukujen -2 ja x^{2}+x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-x=-2x^{2}-2x-2$$

Lisää 2x^{2} molemmille puolille.

$$x^{2}-x+2x^{2}=-2x-2$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 2x^{2}.

$$3x^{2}-x=-2x-2$$

Lisää 2x molemmille puolille.

$$3x^{2}-x+2x=-2$$

Selvitä x yhdistämällä -x ja 2x.

$$3x^{2}+x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Jaa \frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{6}. Lisää sitten \frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{23}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{6}$$