Ratkaise x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 4 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}-4x^{2}+6x-4. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -4 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=2$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}-4x^{2}+6x-4 luvulla x-2, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-2x+2. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -2 tilalle b ja muuttujan 2 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x^{2}-2x+2=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=1-i x=1+i$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=2$$

Ratkaisun vaiheet

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 4 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}-4x^{2}+6x-4. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -4 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=2$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}-4x^{2}+6x-4 luvulla x-2, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-2x+2. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -2 tilalle b ja muuttujan 2 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$x\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=2$$