Ratkaise x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

Ratkaise muuttujan A suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen x^{2}+A ja x^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{4} ja -x^{4}.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Vähennä Bx molemmilta puolilta.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Vähennä C molemmilta puolilta.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät A:n.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Jaa molemmat puolet luvulla x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Jakaminen luvulla x^{2}-1 kumoaa kertomisen luvulla x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Ratkaise muuttujan B suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen x^{2}+A ja x^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{4} ja -x^{4}.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Vähennä Ax^{2} molemmilta puolilta.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Lisää A molemmille puolille.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Vähennä C molemmilta puolilta.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Järjestä termit uudelleen.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Jaa molemmat puolet luvulla x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Jakaminen luvulla x kumoaa kertomisen luvulla x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Ratkaise muuttujan A suhteen

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen x^{2}+A ja x^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{4} ja -x^{4}.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Vähennä Bx molemmilta puolilta.

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

Vähennä C molemmilta puolilta.

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät A:n.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

Jaa molemmat puolet luvulla x^{2}-1.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Jakaminen luvulla x^{2}-1 kumoaa kertomisen luvulla x^{2}-1.

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

Ratkaise muuttujan B suhteen

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen x^{2}+A ja x^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

Selvitä 0 yhdistämällä x^{4} ja -x^{4}.

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

Vähennä Ax^{2} molemmilta puolilta.

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

Lisää A molemmille puolille.

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

Vähennä C molemmilta puolilta.

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

Järjestä termit uudelleen.

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

Jaa molemmat puolet luvulla x.

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

Jakaminen luvulla x kumoaa kertomisen luvulla x.

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$