Ratkaise x^2-x-30=0

$$x ^ { 2 } - x - 30 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=6$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Voit ratkaista yhtälön jakamalla lausekkeen x^{2}-x-30 tekijöihin käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-1 ab=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -1.

$$a=-6 b=5$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-6=0 ja x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -1.

$$a=-6 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right) uudelleen muodossa x^{2}-x-30.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-6 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-6=0 ja x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -1 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -30.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±11}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±11}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 11.

$$x=\frac{12}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±11}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 1.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Jaa -10 luvulla 2.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-30=0$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Kun luku -30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-x=-\left(-30\right)$$

Vähennä -30 luvusta 0.

$$x^{2}-x=30$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Lisää 30 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-5$$