Ratkaise x^2-91x+1960=0

$$x ^ { 2 } - 91 x + 1960 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=35$$

$$x=56$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-91x+1960=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -91 ja c luvulla 1960 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{\left(-91\right)^{2}-4\times 1960}}{2}$$

Korota -91 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-4\times 1960}}{2}$$

Kerro -4 ja 1960.

$$x=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-7840}}{2}$$

Lisää 8281 lukuun -7840.

$$x=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-91\right)±21}{2}$$

Luvun -91 vastaluku on 91.

$$x=\frac{91±21}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{91±21}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 91 lukuun 21.

$$x=\frac{112}{2}$$

Jaa 112 luvulla 2.

$$x=56$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{91±21}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta 91.

$$x=\frac{70}{2}$$

Jaa 70 luvulla 2.

$$x=35$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=56 x=35$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-91x+1960=0$$

Vähennä 1960 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-91x+1960-1960=-1960$$

Kun luku 1960 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-91x=-1960$$

Jaa -91 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{91}{2}. Lisää sitten -\frac{91}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-91x+\left(-\frac{91}{2}\right)^{2}=-1960+\left(-\frac{91}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{91}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-91x+\frac{8281}{4}=-1960+\frac{8281}{4}$$

Lisää -1960 lukuun \frac{8281}{4}.

$$x^{2}-91x+\frac{8281}{4}=\frac{441}{4}$$

Jaa x^{2}-91x+\frac{8281}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{91}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{91}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{91}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{91}{2}=-\frac{21}{2}$$

Lisää \frac{91}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=56 x=35$$