Ratkaise x^2-9x-5=0

$$x ^ { 2 } - 9 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{101} + 9}{2} \approx 9,524937811$$

$$x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}\approx -0,524937811$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-9x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -9 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+20}}{2}$$

Lisää 81 lukuun 20.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{101}}{2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{101}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{101}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{101}.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{101}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{101} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$x^{2}-9x=5$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=5+\frac{81}{4}$$

Lisää 5 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{101}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{101}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{101}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{101}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{101}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$