Ratkaise x^2-9x-1820=0

$$x ^ { 2 } - 9 x - 1820 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{7361} + 9}{2} \approx 47,398135158$$

$$x=\frac{9-\sqrt{7361}}{2}\approx -38,398135158$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-9x-1820=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -9 ja c luvulla -1820 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-1820\right)}}{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-1820\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -1820.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+7280}}{2}$$

Lisää 81 lukuun 7280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{7361}}{2}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{7361}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{7361}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{7361}.

$$x=\frac{\sqrt{7361}+9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{7361}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{7361} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{7361}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7361}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{7361}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-1820=0$$

Lisää 1820 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-9x-1820-\left(-1820\right)=-\left(-1820\right)$$

Kun luku -1820 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-1820\right)$$

Vähennä -1820 luvusta 0.

$$x^{2}-9x=1820$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=1820+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=1820+\frac{81}{4}$$

Lisää 1820 lukuun \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{7361}{4}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{7361}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7361}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{7361}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{7361}}{2}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{7361}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{7361}}{2}$$