Ratkaise x^2-8x+15=0

$$x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3$$

$$x=5$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin x^{2}-8x+15 käyttämällä kaavaa x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-8 ab=15$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -8.

$$a=-5 b=-3$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(x+a\right)\left(x+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-5=0 ja x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -8.

$$a=-5 b=-3$$

Kirjoita \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right) uudelleen muodossa x^{2}-8x+15.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Jaa yleinen termi x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-5=0 ja x-3=0.

$$x=5 x=3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -8 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Lisää 64 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2.

$$x=\frac{10}{2}$$

Jaa 10 luvulla 2.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Jaa 6 luvulla 2.

$$x=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-8x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-8x=-15$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-15+16$$

Lisää -15 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=1$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x-4=1 x-4=-1$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=3$$